Вивчаємо множини

Поняття множини.
операції над множинами

Любий друже!
На ці запитання ти повинен знати відповідь,
а завдання — виконати

1.       Що таке множина? Як можна задати множину?

2.       Що називають елементом множини?

3.       Яку множину називають порожньою?

4.       Як позначають множини та їх елементи?

5.       Як позначають належність або неналежність елемента множині?

6.       Назви основні способи задання множин.

7.       Які бувають множини?

8.       Яку множину називають скінченною?

9.       Яку множину називають нескінченною?

10.    Яку множину називають числовою?

11.    Якими знаками позначають співвідношення між множинами?

12.    Коли множину A називають підмножиною множини B?

13.    Які множини називають рівними?

14.    Яку множину називають перерізом (добутком) множин A та B?

15.    Яку множину називають об’єднанням (сумою) множин A та B?

16.    Яку множину називають різницею множин A та B?

17.    Коли множину C називають доповненням множини B до множини A?

18.    Розв’яжи вправи.

19.    Для допитливих і кмітливих. Правило суми скінченних множин.

20.    Історичні відомості.

21.    Підготуйся до самостійної роботи №1.

Я тобі допомагаю вивчити тему «Поняття множини. Операції над множинами»

1.       Що таке множина? Як можна задати множину?

Поняття множини належить до основних понять математики, яке приймають без означення.

Множину можна описати як сукупність деяких предметів, що об’єднані за певними ознаками, властивостями. Множину вважають заданою, якщо вказано властивість, яку мають усі її елементи і не мають ніякі інші об’єкти. Таку властивість називають характеристичною властивістю множини.

Наприклад: множина учнів класу, множина дерев у саду, множина парних чисел.

2.       Що називають елементом множини?

Кожний об’єкт, який входить до множини, називають елементом цієї множини.

3.       Яку множину називають порожньою?

Множину, яка не містить жодного елемента, називають порожньою множиною. ЇЇ позначають символом «Æ».

4.       Як позначають множини та їх елементи?

Множини позначають великими буквами латинського алфавіту, а їх елементи — маленькими буквами латинського алфавіту.

5.       Як позначають належність або неналежність елемента множині?

Запис aÎA означає, що елемент а належить множині А, а запис bÏA — елемент b не належить множині А.

6.       Назви основні способи задання множин.

Множину можна задати такими способами:

1) переліком усіх її елементів;

2) описом характеристичної властивості її елементів.

Наприклад: 1) M = {точка, пряма, площина} — множина, задана переліком елементів; 2) X — множина коренів рівняння x² + 2x – 3 = 0. Вона задана вказівкою характеристичної властивості елементів — «бути коренем рівняння x² + 2x – 3 = 0». Цю ж множину можна задати й переліком її елементів X = {–3; 1}.

7.       Які бувають множини?

Множини бувають скінченні та нескінченні.

8.       Яку множину називають скінченною?

Множина, яка містить певну кількість елементів, називають скінченною.

Наприклад: множина літер українського алфавіту скінченна і містить 33 букви. Кількість елементів скінченної множини є натуральним числом.

Для скінченної множини через m(A) позначають число її елементів. Число елементів порожньої множини дорівнює 0.

9.       Яку множину називають нескінченною?

Множину, яка містить нескінченну кількість елементів, називають нескінченною.

Наприклад: множина натуральних чисел, множина простих чисел, множина точок прямої — нескінченні множини.

10.    Яку множину називають числовою?

Множину, елементами якої є числа або які є числовими проміжками, називають числовою множиною.

Наприклад: M = {5; 19; 26} — числова множина, яка містить три елементи — числа: 5, 19, 26.

Іноді множину записують, вказуючи на властивість кожного її елемента: B = {x|P(x)}.

Наприклад:  — множина всіх цілих чисел, кратних 5.

11.    Якими знаками позначають співвідношення між множинами?

1) Знак «Ì» — знак включення. Цей знак першим увів німецький математик і логік Ернст Шредер (1841–1902).

2) «Ç» — знак перерізу множин.

3) «È» — знак об’єднання множин.

Знаки «Ç» і «È» введені в 1888 році італійським математиком Джузеппе Пеано (1858–1932).

12.    Коли множину A називають підмножиною множини B?

Якщо кожний елемент множини A є елементом множини B, то множину A називають підмножиною множини B.

Позначають: A Ì B або B É A. Якщо множина A є підмножиною множини B або співпадає з нею, то записують: A Í B або В Ê А.

Кожна множина є підмножиною сама собі: A Ì A.

Порожня множина є підмножиною будь-якої множини: Æ Ì A.

Приклад 1.          Дано множини: а) A — множина всіх раціональних чисел; б) С — множина всіх дійсних чисел; в) D — множина всіх парних натуральних чисел; г) В — множина всіх цілих чисел; д) Е — множина натуральних чисел. Розмістити ці множини в такому порядку, щоб кожна наступна множина була підмножиною попередньої.

Розв’язання

C É A É B É E É D.

Приклад 2.          Дано множини: а) B — множина всіх прямокутників; б) А — множина всіх чотирикутників; в) D — множина всіх квадратів; г) Е — множина всіх паралелограмів. Розмістити ці множини в такому порядку, щоб кожна наступна множина була підмножиною попередньої.

Розв’язання

A É E É B É D.

13.    Які множини називають рівними?

Дві множини називають рівними, якщо вони складаються з однакових елементів.

Наприклад: нехай A та B — множини коренів рівнянь x² = 36 і |x| = 6 відповідно, тоді A = {–6; 6} і B = {–6; 6}. Отже, множини A та B рівні.

14.    Яку множину називають перерізом (добутком) множин A та B?

Перерізом множин A та B називають множину С, яка складається з усіх тих і лише тих елементів, які належать кожній з даних множин.

Позначають: C = A Ç B. Якщо x Î C, то x Î A і x Î B.

На рисунку 1 заштрихована частина відповідає множині C = A Ç B.

Рис. 1

Якщо множини A та B не мають спільних елементів, то перерізом цих множин є порожня множина (рис. 2): A Ç B = Æ.

Рис. 2

Наприклад: якщо A, B і C відповідно множини учнів класу, які розв’язали задачу з алгебри, з геометрії та з хімії, то перерізом цих множин є множина учнів класу, які розв’язали всі три задачі (рис. 3).

Рис. 3

Приклад 3.          Знайди переріз множин: а) A та B, якщо A = {7; 15; 20; 48; 68}, B = {12; 15; 18; 20; 88}; б) C та D, якщо C — множина прямокутників, D — множина ромбів.

Розв’язання

а) C = A Ç B = {15; 20}.

б) P = C Ç D, P — множина квадратів.

Відповідь. а) {15; 20}; б) множина квадратів.

15.    Яку множину називають об’єднанням (сумою) множин A та B?

Об’єднанням (сумою) множин A та B називають множину C, яка складається з усіх тих і лише тих елементів, які належать хоча б одній із множин A або B.

Позначають: C = A È B. Якщо xÎC, то xÎA або xÎB.

Рис. 4

Наприклад: об’єднанням множин гострокутних, тупокутних і прямокутних трикутників є множина всіх трикутників.

На рис. 4 заштрихована множина є об’єднанням множин A та B. Якщо множини A та B мають спільні елементи, то кожен з цих спільних елементів входить до об’єднання лише один раз.

Приклад 4.          Знайди об’єднання множин: а) A = {5; 13; 19; 28}, B = {4; 11; 13; 44}; б) множини Q раціональних чисел і множини I ірраціональних чисел.

Розв’язання

а) C = A È B = {4; 5; 11; 13; 19; 28; 44}.

б) Q È I = R, R — множина дійсних чисел.

Відповідь. а) {4; 5; 11; 13; 19; 28; 44}; б) множина дійсних чисел.

Приклад 5.          Задано множини A = [1; 3], B = [2; 5], C = [3; 8], D = [0; 6]. Знайди: а) A Ç D; б) C Ç D; в) B È D; г) A È B; д) (A È D) Ç (B È C); е) (A È B) Ç (B È D).

Розв’язання

а) A Ç B = [2; 3];

б) C Ç D = [3; 6];

в) B È D = [0; 6];

г) A ÈB = [1; 5];

д) A È D = [0; 6];

    B È C = [2; 8];

    (A È D) Ç (B È C) = [2; 6];

е) A È B = [1; 5];

    B È D = [0; 6];

    (A È B) Ç (B È D) = [1; 5].

16.    Яку множину називають різницею множин A та B?

Різницею двох множин A та B називають таку множину C, яка складається з усіх тих елементів множини A, які не належать множині B, і не містить жодних інших елементів.

Позначають: C = A \ B або C = A – B.

Рис. 5

На рис. 5 заштрихована множина C — різниця множин A та B.

Приклад 6.          Знайди різницю множин A та B, якщо: а) A = {3; 4; 13; 20; 25}, B = {13; 20}; б) A = {7; 8; 9}, B = {2; 3}; в) A = {3; 6}, B = {3; 6; 13}.

Розв’язання

а) C = A \ B = {3; 4; 25};

б) C = A \ B = {7; 8; 9};

в) C = A \ B = Æ.

Відповідь. а) {3; 4; 25}; б) {7; 8; 9}; в) Æ.

17.    Коли множину C називають доповненням множини B до множини A?

Якщо множини A та B такі, що В Ì А, то множину, яка містить усі елементи множини A, які не належать множині B, називають доповненням множини B до множини A.

Рис. 6

На рис. 6 заштрихована частина — доповнення множини B до множини A. Записують: C = A \ B і позначають: C_AB. Тоді C È B = A. Доповнення множини B до множини A позначають ще й так: . Тоді , .

18.    Розв’яжи вправи.

Приклад 7.          У класі навчається 42 учні. Із них 16 відвідують секцію легкої атлетики, 24 — футбольну секцію, 15 — шахову, 11 — секцію легкої атлетики та футбольну, 8 — легкоатлетичну та шахову, 12 — футбольну та шахову, а 6 — усі три секції. Інші учні захоплюються тільки туризмом. Скільки учнів займається туризмом?

Розв’язання

Нехай U — множина учнів класу, m(U) = 42; A — множина членів легкоатлетичної секції, m(A) = 16; B — множина членів футбольної секції, m(B) = 24; C — множина членів секції шахістів, m(C) = 15; D — множина членів секції туристів, m(D) — кількість учнів, які займаються туризмом. За умовою:

U = A È B È C È D, D Ç (A È B È C) = Æ.

m(A Ç B) = 11, m(A Ç C) = 8, m(B Ç C) = 12, m(A Ç B Ç C) = 6.

m(A È B È C) = 16 + 24 + 15 – 11 – 8 – 12 + 6 = 30.

m(D) = m(U) – m(A È B È C) = 42 – 30 = 12.

Відповідь. 12 туристів.

Приклад 8.          Нехай A = [–1; 1]; B = (–¥; 0), C[0; 2). Знайди множини: а) A È C; б) A Ç B; в) A È B È C; г) (A È B) Ç C; д) B Ç C.

Розв’язання

а) A È C = [–1; 1] È [0; 2) = [–1; 2);

б) A Ç B = [–1; 1] Ç (–¥; 0) = [–1; 0);

в) A È B È C = [–1; 1] È (–¥; 0) È [0; 2) = ([–1; 1] È (–¥; 0)) È [0; 2) =
= [–¥; 1) È [0; 2) = (–¥; 2);

г) (A È B) Ç C = (–¥; 1] Ç [0; 2) = [0; 1];

д) B Ç C = (–¥; 0) Ç [0; 2) = Æ.

Відповідь. а) [–1; 2), б) [–1; 0), в) (–¥; 2), г) [0; 1], д) Æ.

Приклад 9.          Серед даних множин визнач порожні: а) множина цілих коренів рівняння x² – 9 = 0; б) множина дійсних коренів рівняння x² – 9 = 0; в)  множина дійсних коренів рівняння ; г) множина натуральних чисел, менших від 1; д) множина натуральних чисел, які є ні простими, ні складеними; е) множина коренів квадратного рівняння x² + 5x + 6 = 0.

Розв’язання

Множини в) і г)  будуть порожніми.

Приклад 10.        A — множина перших 19 натуральних чисел. Запиши такі її підмножини: а) B — парних чисел; б) C — непарних чисел; в) D — чисел, які є квадратами чисел; г) E — простих чисел.

Розв’язання

а) B = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18};

б) C = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19};

в) D = {1, 4, 9, 16};

г) E = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19}.

19.    Для допитливих і кмітливих. Правило суми скінченних множин.

Для будь-яких скінченних множин A та B (рис. 5) виконується рівність:

m(A È B) = m(A) + m(B) – m(A Ç B).

Рис. 7

Якщо множини A та B не мають спільних елементів, то m(A Ç B) = 0. У цьому випадку m(A È B) = m(A) + m(B).

Отже, маємо таке правило суми скінченних множин:

Кількість елементів об’єднання двох скінченних множин дорівнює сумі кількостей елементів цих множин, зменшена на кількість елементів перерізу цих множин:

m(AÈB) = m(A) + m(B) – m(AÇB).

Якщо маємо три множини A, B та C (рис. 8) то m(A È B È C) =
= m(A) + m(B) + m(C) – m(A Ç B) – m(B Ç C) – m(A Ç C) + m(A Ç B Ç C).

Рис. 8

Приклад 11*.      Екзамен з математики складали 250 абітурієнтів. Їх оцінювали за п’ятибальною шкалою. Якщо абітурієнт отримував 1 чи 2 бали, то екзамен вважався не складеним. Оцінку менше, ніж 5 балів, отримали 180 осіб, а склали екзамен 210 абітурієнтів. Скільки осіб одержали 3 або 4 бали?

Розв’язання

Нехай A — множина абітурієнтів, які склали екзамен, B — множина абітурієнтів, які отримали оцінку, меншу від 5 балів. За умовою, m(A) = 210, m(B) = 180, m(A È B) = 250. Абітурієнти, які отримали 3 або 4 бали, утворюють множину A Ç B. За формулою m(A Ç B) = m(A) + m(B) – m(A È B) маємо: m(A Ç B) = 210 + 180 – 250 = 140.

Відповідь. 140.

Приклад 12*.      Кожен учень гімназії вивчає німецьку або англійську мову, або обидві мови. Скільки учнів у гімназії, якщо німецьку мову вивчає 320 учнів, англійську — 280 учнів, а обидві разом — 190 учнів?

Розв’язання

Нехай A — множини учнів, які вивчають німецьку, В — англійську мову. Тоді m(A) = 320, m(B) = 280, m(A Ç B) = 190.

Тоді m(A È B) = m(A) + m(B) – m(A Ç B) = 320 + 280 – 190 = 410 — учнів навчається у гімназії.

Відповідь. 410 учнів.

20.    Історичні відомості.

Теоретико-множинні уявлення давно використовувались у математиці. Геометри древньої Греції в III ст. до н. е. розглядали «геометричні місця точок», тобто множини точок, що мають певну властивість. Труднощі, пов’язані з поясненням нескінченності, привели до того, що протягом тривалого часу математики не розглядали геометричні фігури як множини точок. Дослідження нескінченних множин почали чеський вчений Бернард Больцано (1781–1848) і німецький математик Георг Кантор (1845–1918). Праці Больцано були опубліковані лише через багато років після його смерті. Основні заслуги в розвитку теорії множин належать Георгу Кантору (1845–1918). Майже одночасно з Кантором розробкою вчення про дійсні числа займався Ріхард Дедекінд (1831–1916). Розвитку теорії множин сприяло також дослідження в області вчення про тригонометричні ряди французького математика та фізика Жозефа Фур’є (1768–1830).

У середині 80-х років XIX ст. Кантор виклав своє вчення про множини — абстрактну теорію множин. У той же час була опублікована робота німецького математика Готліба Фреге (1848–1925) «Основи арифметики» (1884) і Р. Дедекінда «Що таке числа і чим вони повинні бути» (1887). Для всіх цих робіт характерним є новий, абстрактно-логічний метод, який використовує логічні міркування замість обчислень і викладок.

Незабаром після створення теорії множин стало зрозуміло, що трактування поняття нескінченної множини може привести до протирічь. Дослідження у цьому напрямку призвело до розвитку математичної логіки. Спочатку ця галузь була далекою від практичного використання, але незабаром її принципи стали ідейною основою конструювання електронних машин і програмування обчислень на них.

Творцем формальної логіки вважають Аристотеля, а математичної логіки — німецького математика, філософа-ідеаліста, фізика Георга Лейбніца (1646–1716). Великий вклад у розвиток логіки внесли англійський математик Джон Буль (1815–1864), шотландський математик А. де Морган (1806–1871) та італійський Дж. Пеано (1858–1932).

21.    Підготуйся до самостійної роботи №1.
І варіант		ІІ варіант
1.   Назви всі елементи кожної множини:
а) A = {x|x Î N, x < 7}; б) P = {x|x Î N, –4 £ x < 6}; в) D = {x|x Î N, 3x + 6 = 10}; г) N = {x|x (x + 16) = 0}.		а) K = {x|x Î N, x < 2,5}; б) B = {x|x Î N, –1 £ x £ 3}; в) M = {x|x Î N, 5x – 4 = 12}; г) C = {x|3x + 5 = 2(x + 6)}.
2.   Чи рівні між собою множини A та B? Якщо так, то чому.
а) A = {1; 2; 3}, B = {3; 2; 1}; б) A = {7; 2; 3; 2}, B = {7; 2; 3}; в) A = {5; 9; 11}, B = {11; 9; 6}; г) A = {1; {2; 3}; 4}, B = {1; 2; 3; 4}.		а) A = {7; 8; 9}, B = {9; 8; 7}; б) A = {3; 4; 5; 4}, B = {3; 4; 5}; в) A = {6; 11; 10}, B = {10; 11; 7}; г) A = {2; {3; 4}; 5}, B = {2; 3; 4; 5}.
3.   Знайди A È B, A Ç B, якщо:
а) A = {2; 5; 8; 11; …},     B = {x|x = 3n + 2, n Î N}; б) A = {Æ; 1; 2; …}, B = {Æ; 1; 4; 5}; в) A = {1; 2; 3; 7}, B = {1; 8; 7; 3}; г) A = {x|x = 3n, n Î N},     B = {x|x = 6n, n Î N}.		а) A = {3; 7; 11; 15; …},     B = {x|x = 2n + 1, n Î N}; б) A = {Æ; 7; 9; 11; …},     B = {Æ; 3; 5; 13}; в) A = {2; 6; 9; 15},     B = {9; 2; 16; 20}; г) A = {x|x = 5n, n Î N},     B = {x|x = 10n, n Î N}.
4.   Знайди доповнення множини B до множини A.
а) B = {3; 5; 7},     A = {1; 3; 5; 7; 9; 16}; б) B = {x|x Î R, –1 < x £ 0},     A = {x|x Î R, |x| £ 2}.		а) B = {6; 10; 15},     A = {1; 2; 6; 10; 15; 19}; б) B = {x|x Î R, 1 < x £ 2},     A = {x|x Î R, |x| £ 4}.
5.   Нехай A — множина дільників числа 15, B — множина простих чисел, менших 10, C — множина парних чисел, менших 9.		5.   Нехай A — множина дільників числа 18, B — множина простих чисел, менших 12, C — множина парних чисел, менших 11.
Назви елементи даних множин і знайди: а) A È B; б) A Ç C; в) B Ç C; г) (A È C) Ç B; д) A Ç B Ç C.
6*. У групі зі 100 туристів 70 осіб знають англійську мову, 45 — французьку і 23 — обидві мови. Скільки туристів у групі не знають ні англійської, ні французької мови?		6*. У класі 40 учнів. 30 з них вміють плавати, 27 — грати в шахи, а п’ятеро не вміють ні того, ні іншого. Скільки дітей уміють плавати і грати в шахи?
7**. Кожен учень класу на зимових канікулах двічі був театрі. Вони переглядали вистави A, B та C, до того ж кожну з вистав A, B та C подивились відповідно 25, 12 і 23 учні. Скільки учнів у класі? Скільки з них бачили вистави A і B, A і C, B і C?		7**. Протягом тижня в кінотеатрі демонструвались фільми A, B і C. Із 40 учнів кожен переглянув або всі три фільми, або лише один з трьох. Фільм A подивились 13 учнів, фільм B — 16, фільм C — 19. Скільки учнів переглянули усі три фільми?